题目

在如图所示的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点.（1）求AE与D1F所成的角；（2）证明平面AED⊥平面A1FD1. 答案：解法一:(1)解:∵AC1是正方体,∴AD⊥面DC1.又D1F面DC1,∴AD⊥D1F.取AB的中点G，连结A1G、FG.∵F是CD的中点,∴GF、AD平行且相等，即GFAD.又A1D1AD,∴GFA1D1.故GFD1A1是平行四边形,A1G∥D1F.设A1G与AE相交于点H，则∠AHA1是AE与D1F所成的角.∵E是BB1的中点，∴Rt△A1AG≌Rt△ABE.∴∠GA1A=∠GAH.从而∠AHA1=90°,即直线AE与D1F所成的角为直角.(2)证明:由(1)知，AD⊥D1F,AE⊥D1F,又AD∩AE=A,∴D1F⊥平面AED.又∵D1F平面A1FD1,∴面AED⊥面A1FD1.解法二:(1)解:如图所示建立空间坐标系，D为坐标原点.设DC=a,依题意有D(0,0,0),A(a,0,0),D1(0,0,a),F(0, ,0).=(0, ,-a),E(a,a, ),=(0,a, ).·=0+a·+(-a)·=0,∴AE、D1F所成的角为90°.(2)证明:同证法一.

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