题目

设各项均为正数的数列{an}满足. （Ⅰ）若求a3,a4,并猜想a2008的值（不需证明）; （Ⅱ）若对n≥2恒成立，求a2的值. 答案： 解：（I）因a1=2,  a2=2-2,故     由此有, , ,,…… 从而猜想an的通项为 , 所以 （Ⅱ）令xn=log2an.则,故只需求x2的值。    设Sn表示xn的前n项和，则a1a2…an=,由2≤a1a2…an＜4得    ≤Sn＝x1+x2+…+xn＜2（n≥2）. 因上式对n=2成立，可得≤x1+x2，又由a1=2,得x1＝1,故x2≥. 由于a1=2，（n∈N*）,得（n∈N*）,即 ， 因此数列｛xn+1+2xn｝是首项为x2+2,公比为的等比数列，故 xn+1+2xn=（x2+2） （n∈N*）. 将上式对n求和得 Sn+1－x1+2Sn=（x2+2）（1++…+）=（x2+2）（2－）（n≥2）. 因Sn＜2，Sn+1＜2（n≥2）且x1=1,故 （x2+2）（2－）＜5（n≥2）. 因此2x2－1＜（n≥2）. 下证x2≤，若不然，假设x2＞，则由上式知，不等式 2n－1＜ 对n≥2恒成立，但这是不可能的，因此x2≤. 又x2≥，故x2=，所以a2=2=.

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