题目

(22)已知b＞－1,c＞0,函数f(x)=x+b的图象与函数g(x)=x2+bx+c的图象相切.(Ⅰ)求b与c的关系式(用c表示b);(Ⅱ)设函数F(x)=f(x)g(x)在(－∞,+∞)内有极值点,求c的取值范围.  答案：(22)本小题考查导数、切线、极值等知识及综合运用数学知识解决问题的能力. 解：(Ⅰ)依题意,令f′(x)=g′(x),得2x+b=1,故x=.由于f()=g(),得(b+1)2=4c.∵b＞－1,c＞0,∴b=－1+2.(Ⅱ)F(x)=f(x)g(x)=x3+2bx2+(b2+c)x+bc.∴F′(x)=3x2+4bx+b2+c.令F′(x)=0,即3x2+4bx+b2+c=0.则Δ=16b2－12(b2+c)=4(b2－3c).若Δ=0,则F′(x)=0有一个实根x0,且F′(x)的变化如下:x(－∞,x0)x0(x0,+∞)F′(x)+0+于是x=x0不是函数F(x)的极值点.若Δ>0,则F′(x)=0有两个不相等的实根x1,x2(x1＜x2),且F′(x)的变化如下:x(－∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2+∞)F′(x)+0－0+由此,x=x1是函数F(x)的极大值点,x=x2是函数F(x)的极小值点.综上所述,当且仅当Δ＞0时,函数F(x)在(－∞,+∞)上有极值点.由Δ=4(b2－3c)＞0得b＜－c或b＞.∵b=－1+2,∴－1+2＜－c或－1+2c＞.解之得0＜c＜7－4或c＞7+4.故所求c的取值范围是(0,7－4)∪(7+4,+∞).

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