题目

如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，AM⊥BC于点M，交CD于点N，连接AD. (1)求证：AD＝AN； (2)若AB＝4，ON＝1，求⊙O的半径．       答案：        (1)证明：∵∠BAD与∠BCD是同弧所对的圆周角， ∴∠BAD＝∠BCD， ∵AE⊥CD，AM⊥BC， ∴∠AEN＝∠AMC＝90°， ∵∠ANE＝∠CNM， ∴∠BAM＝∠BCD， ∴∠BAM＝∠BAD， 在△ANE与△ADE中， ， ∴△ANE≌△ADE(ASA)， ∴AN＝AD； (2)解：∵AB＝4，AE⊥CD, ∴AE＝AB＝2， 又∵ON＝1， ∴设NE＝x，则OE＝x－1，NE＝ED＝x，OD＝OE＋ED＝2x－1， 如解图，连接AO，则AO＝OD＝2x－1，                            第3题解图 ∵△AOE是直角三角形，AE＝2，OE＝x－1，AO＝2x－1， ∴(2)2＋(x－1)2＝(2x－1)2， 解得x1＝2，x2＝－(舍)， ∴AO＝2x－1＝3， 即⊙O的半径为3.

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