题目

如图①，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高．沿AD把△ABD折起，得如图②所示的三棱锥，其中∠BDC＝90°. (1)证明：平面ABD⊥平面BDC； (2)设E为BC的中点，求与夹角的余弦值． 答案：证明：因为折起前AD是BC边上的高， 所以当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB. 又因为DB∩DC＝D，所以AD⊥平面BDC. 因为AD⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面BDC. (2)解：由∠BDC＝90°及(1)，知DA，DB，DC两两垂直．不妨设|DB|＝1，以D为坐标原点，以DB，DC，DA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得D(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，3，0)，A(0，0，)． 因为E为BC中点， 所以E. 所以＝，＝(1，0，0)． 所以cos(，)＝＝＝. 故与夹角的余弦值是.

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