题目

.设函数。 （1）若在区间上存在单调递减区间，求的取值范围； （2）当时，在区间上的最大值为15，求在区间上的最小值。 答案：(1)     (2) 【解析】 【分析】 （1）求出导函数，利用f（x）在区间上存在单调递减区间，转化为导函数在上存在函数值小于零的区间，列出不等式求解a的范围即可． （2）判断导函数的开口方向，对称轴，利用函数f（x）的上单调性，求出a，然后求解最小值． 【详解】解：（1）函数，a∈R． 可得． 由条件f（x）在区间上存在单调递减区间，知导函数在上存在函数值小于零的区间， 只需 ，解得 ， 故a的取值范围为． （2）的图象开口向上，且对称轴x＝﹣1， f′（0）＝a＜0，f′（3）＝9+6+a＝15+a＞0， 所以必存在一点x0∈（0，3），使得f′（x0）＝0， 此时函数f（x）在[0，x0]上单调递减， 在[x0，3]单调递增，又由于f（0）＝0，f（3）＝9+9+a＝18+3a＞0＝f（0） 所以f（3）＝18+3a＝15，即a＝﹣1，此时， 由 ， 所以函数 ． 【点睛】本题考查函数的导数的应用，导函数的性质，函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力．

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