题目

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.1.求证：PC是⊙O的切线；2.求证：BC=AB3.点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值.  答案： 1.∵OA=OC,∴∠A=∠ACO        ∵∠COB=2∠A ,∠COB=2∠PCB               ∴∠A=∠ACO=∠PCB      ……………………………………………………1分           ∵AB是⊙O的直径   ∴∠ACO+∠OCB=90°       …………………………………………………2分          ∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP     …………………………………………3分∵OC是⊙O的半径                       ∴PC是⊙O的切线          …………………………………………………4分2.∵PC=AC ∴∠A=∠P         ∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P            ∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB ∴∠CBO=∠COB                ……………………………………………5分         ∴BC=OC ∴BC=AB            ………………………………………………………6分3.连接MA,MB                                  ∵点M是弧AB的中点  ∴弧AM=弧BM ∴∠ACM=∠BCM    ………7分     ∵∠ACM=∠ABM ∴∠BCM=∠ABM                 ∵∠BMC=∠BMN         ∴△MBN∽△MCB                   ∴   ∴BM2=MC·MN        ……………………8分         ∵AB是⊙O的直径，弧AM=弧BM          ∴∠AMB=90°,AM=BM   ∵AB=4  ∴BM=   ………………………………………………………9分 ∴MC·MN=BM2=8        ……………………………………………………10分解析:（1）已知C在圆上，故只需证明OC与PC垂直即可；根据圆周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切线；（2）AB是直径；故只需证明BC与半径相等即可；（3）连接MA，MB，由圆周角定理可得∠ACM=∠BCM，进而可得△MBN∽△MCB，故BM2=MN•MC；代入数据可得MN•MC=BM2=8． 

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