题目

已知双曲线的中心在原点,F1、F2为左、右焦点,且在坐标轴上,离心率为,又双曲线过点(4,-).(1)求此双曲线的方程;(2)若点M(3,m)在此双曲线上,证明F1M⊥F2M;(3)求△F1MF2的面积. 答案：(1)解:=e2=1,∴a2=b2. 设双曲线方程为x2-y2=λ,把(4,-10)代入可得λ=6.于是双曲线方程为=1.(2)证明:∵M在双曲线上,故有9-m2=6,解得m=±.∴M(3,)或M(3,-),F1(-2,0),F2(2,0).当M(3,)时,·==-1,∴F1M⊥F2M.同理,当M(3,- )时,F1M⊥F2M.综上,有F1M⊥F2M.(3)解:S=|F1F2|·|m|=·4·=6.

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