题目

已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆交于，两点，且△的周长为．    （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过原点的两条互相垂直的射线与椭圆分别交于，两点，证明：点到直线的距离为定值，并求出这个定值． 答案：解：（I）由题意知，，所以． 因为 所以， 所以． 所以椭圆的方程为． （II）由题意,当直线的斜率不存在，此时可设，. 又，两点在椭圆上， 所以，． 所以点到直线的距离． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为． 由消去得 ． 由已知． 设，． 所以，． 因为， 所以． 所以． 即． 所以． 整理得，满足． 所以点到直线的距离 为定值．

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