题目

已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，侧棱AA1垂直于底面ABC，AB=BC=AA1=4，D为BC的中点，        （1）若E为棱CC1的中点，求证：DE⊥A1C； （2）若E为棱CC1上异于端点的任意一点，设CE与平面ADE所成角为α，求满足 时,求CE的长． 答案：解：（1）以B为原点，BC，BA，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，……2分 ∵AB=BC=AA1=4，D为BC的中点，E为棱CC1的中点， ∴D（2，0，0），E（4，0，2），A1（0，4，4），C（4，0，0），   =（2，0，2），=（4，-4，-4），                   =0+8﹣8=0， ∴DE⊥A1C．                                                         ………5分 （2）设E（4，0，t），0≤t≤4， =（0，0，t），A（0，4，0）， =（2，-4，0），=（4，-4，t）， 设平面ADE的法向量=（x，y，z）， 则, ，取x=2，得=（2，1，﹣），              ………8分 设CE与平面ADE所成角为α，满足sinα=，∴==，                             解得t=3或t=﹣3（舍），∴CE=3                                    ………12分

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