题目

在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）。将△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2） （Ⅰ）求证：A1E⊥平面BEP； （Ⅱ）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小； （III）求二面角B－A1P－F的大小（用反三角函数表示）         答案： 解：不妨设正三角形ABC 的边长为 3 . (I)在图1中，取BE的中点D，连结DF. ∵AEEB=CFFA=12，∴AF=AD=2，而∠A=600, ∴△ADF是正三角形，又AE=DE=1，∴EF⊥AD 在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF， ∴∠A1EB为二面角A1-EF-B的平面角 由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥BE. 又BE∩EF=E，∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP (II)在图2中，∵A1E不垂直于A1B，∴A1E是平面A1BP的斜线. 又A1E⊥平面BEP, ∴A1E⊥BP, 从而BP垂直于A1E在平面A1BP内的射影（三垂线定理的逆定理）. 设A1E在平面A1BP内的射影为A1Q，且A1Q交BP于点Q，则 ∠EA1Q就是A1E与平面A1BP所成的角，且BP⊥A1Q. 在△EBP中，∵BE=BP=2，∠EBP=600，  ∴△EBP是等边三角形，∴BE=EP. 又A1E⊥平面BEP，∴A1B=A1P，∴Q为BP的中点，且EQ= 又A1E=1,在Rt△A1EQ ,tan∠EA1Q=,∴∠EA1Q=600. 所以直线A1E与平面A1BP所成的角为600 (III)在图3中，过F作FM⊥A1P于M，连结QM，QF. ∵CF=CP=1, ∠C=600.    ∴△FCP是正三角形，∴PF=1. 又PQ=BP=1，∴PF=PQ.            ① ∵A1E⊥平面BEP，EQ=EF=，   ∴A1F=A1Q，∴△A1FP≌△A1QP, 从而∠A1PF=∠A1PQ.               ② 由①②及MP为公共边知 △FMP≌△QMP， ∴∠QMP=∠FMP=900，且MF=MQ， 从而∠FMQ为二面角B-A1P-F的平面角 在Rt△A1QP中，A1Q=A1F=2，PQ=1，∴A1P=. ∵MQ⊥A1P, ∴MQ=,∴MF=. 在△FCQ中，FC=1，QC=2，∠C=600，由余弦定理得QF=. 在△FMQ中，cos∠FMQ= 所以二面角B-A1P-F的大小为-arccos

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