题目

已知函数 . (Ⅰ) 时，求 的单调区间和极值； (Ⅱ) 时，求 的单调区间 ( III )当 时，若存在 ，使不等式 成立，求 的取值范围. 答案：解：（Ⅰ）  时，  令  解得  ，当  时，  当  时，  所以  的单调递减区间是  ，单调递增区间是  ； 所以  的极小值是  ，无极大值； （ II ）    ① 当  时，  ，令  解得：  ，或 . 令  解得：  ， 所以当  时，  的单调递减区间是  ，  ，单调递增区间是  ； ② 当  时，  ，   在  上单调递减； ③ 当  时，  ，令  解得：  ，或  令  解得：  ， 所以当  时，  的单调递减区间是  ，  ，单调递增区间是  ； ( III )由（ II ）知，当  时，  在  上单调递减. 所以  ，  因为存在  ，使不等式  成立， 所以  ，即  整理得  ，因为  ，所以  所以  ，所以  ，  的取值范围是  .

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