题目

已知数列{an}满足an+1=2+(n=1,2,3,…),bn= (n=1,2,3,…),cn=an-3(n=1,2,3,…).(1)若a1=2,证明{bn}是等比数列;(2)在(1)的条件下,求{an}的通项公式;(3)若a1∈(,),证明数列{|cn|}的前n项和Sn满足Sn＜1. 答案：(1)证明:∵a1=2,∴b1==.由已知bn+1===·=bn,∴{bn}是首项为,公比为的等比数列. (2)解:由(1)知bn=()()n-1=()n,即=()n,∴an=. (3)证明:首先证明an＞2.①当n=1时,∵a1∈(,),∴a1＞2; ②假设n=k时,ak＞2; 当n=k+1时,ak+1=2+＞2,∴an＞2.∴||＜.∴|cn|=|an-3|=|2+-3|=||＜|an-1-3|＜|cn-1|.∴|cn|＜|cn-1|＜…＜()n-1|c1|.∴Sn=|c1|+|c2|+…+|cn|＜|c1|+|c1|+…+()n-1·|c1|=|c1|·［1+()+…+()n-1］=|c1|·=2［1-()n］|c1|. ∵＜a1＜,∴＜a1-3＜,即＜c1＜,即|c1|＜.∴Sn＜2［1-()n］|c1|＜1-()n＜1.

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