题目

（本小题满分14分） 如图所示，在斜边为AB的Rt△ABC中，过A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M ， AN⊥PC于N.  （1）求证：BC⊥面PAC；  （2）求证：PB⊥面AMN.  （3）若PA=AB=4，设∠BPC=，试用表示△AMN 的面积，当取何值时， △AMN的面积最大？最大面积是多少？ 答案：（14分）（1）证明：∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC. ∴PA⊥BC，又AB为斜边，∴BC⊥AC，PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC. （2）证明：∵BC⊥平面PAC，AN平面PAC  ∴BC⊥AN，又AN⊥PC，且BC∩PC=C， ∴AN⊥面PBC，又PB平面PBC.∴AN⊥PB， 又∵PB⊥AM，AM∩AN=A ，∴PB⊥平面AMN. （3）解：在Rt△PAB中，PA=AB=4，∴PB=4， ∵PM⊥AB，∴AM=PB=2，∴PM=BM=2 又∵PB⊥面AMN，MN平面AMN.∴PB⊥MN, ∵MN=PM·tanθ=2tanθ,∵AN⊥平面PBC，MN平面PBC.∴AN⊥MN ∵AN= ∴当tan2θ=,即=时，有最大值为2， ∴当=时，面积最大，最大值为2．

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