题目

已知函数，且）． （1）讨论函数f(x)的单调性； （2）若，方程f (x) =2 a x有惟一解时，求的值。 答案：（1）当k是奇数时,f(x)在(0,+)上是增函数 ；当k是偶数时,f(x)在是减函数,在是增函数   （2）  解析:(1)由已知得，x＞0且． 当k是奇数时,则,则f(x)在(0,+)上是增函数; ……（2分） 当k是偶数时,则,,　 ……（3分） 所以当x时,, 当x时,， 故当k是偶数时,f(x)在是减函数,在是增函数．……（5分） （Ⅱ）若，则） 记g (x) = f (x) – 2ax = x 2 – 2 a xlnx – 2ax,      , 若方程f(x)=2ax有唯一解，即g(x)=0有唯一解；……（6分） 令,得， （舍去）……（7分） 当时，,在是单调递减函数； 当时，,在上是单调递增函数。 当x=x2时, ,    …………（8分） 有唯一解，  则，即  ………（9分）     …………（10分） 设函数， ∵在x>0时, h (x)是增函数，∴h (x) = 0至多有一解。 ∵h (1) = 0, ∴方程(*)的解为x 2 = 1，即，解得。…………（12分）

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