题目

已知函数f(x)对任意实数x、y满足f(x)＋f(y)＝f(x＋y)＋3, f(3)＝6， 当x＞0时， f(x)＞3. (1)f(x)在R上的单调性是否确定？并说明你的结论． (2)是否存在实数a，使f(a2－a－5)＜4成立？若存在，求出实数a；若不存在，则说明理由． 答案：解：(1)能确定为单调递增，证明如下： 设x1，x2∈R且x1＜x2，则x2＝x1＋(x2－x1)，x2－x1＞0， ∴f(x2－x1)＞3，∴f(x2)－f(x1)＝f[x1＋(x2－x1)]－f(x1) ＝f(x1)＋f(x2－x1)－3－f(x1)＝f(x2－x1)－3＞0，即f(x2)＞f(x1)． ∴f(x)在R上单调递增．                  (2)令x＝y＝1，则2f(1)＝f(2)＋3， ∴f(3)＝f(2)＋f(1)－3＝2f(1)－3＋f(1)－3＝3f(1)－6＝6，∴f(1)＝4 ∴f(a2－a－5)＜4，即为f(a2－a－5)＜f(1)． 又f(x)在R上递增，∴a2－a－5＜1. 即a2－a－6＜0，得－2＜a＜3. 故存在这样的实数a，即－2＜a＜3.

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