题目

已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=f（x）+ax﹣6lnx，其中a∈R． （Ⅰ）讨论f（x）的单调性； （Ⅱ）若g（x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围； （Ⅲ）设函数h（x）=x2﹣mx+4，当a=2时，若∃x1∈（0，1），∀x2∈[1，2]，总有g（x1）≥h（x2）成立，求实数m的取值范围． 答案：考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性． 专题： 综合题；压轴题． 分析： （Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），且，当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（x，+∞）上单调递增；当a＞0时，由f′（x）＞0，得x＞﹣a；由f′（x）＜0，得x＜﹣a．由此能够判断f（x）的单调性． （Ⅱ）由g（x）=ax﹣，定义域为（0，+∞），知﹣=，因为g（x）在其定义域内为增函数，所以∀x∈（0，+∞），g′（x）≥0，由此能够求出正实数a的取值范围． （Ⅲ）当a=2时，g（x）=2x﹣，，由g′（x）=0，得x=或x=2．当时，g′（x）≥0当x时，g′（x）＜0．所以在（0，1）上，，由此能求出实数m的取值范围． 解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），且， ①当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（x，+∞）上单调递增； ②当a＜0时，由f′（x）＞0，得x＞﹣a；由f′（x）＜0，得x＜﹣a； 故f（x）在（0，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增． （Ⅱ）g（x）=ax﹣，g（x）的定义域为（0，+∞）， ﹣=， 因为g（x）在其定义域内为增函数，所以∀x∈（0，+∞），g′（x）≥0， ∴ax2﹣5x+a≥0， ∴a（x2+1）≥5x， 即， ∴． ∵，当且仅当x=1时取等号， 所以a． （Ⅲ）当a=2时，g（x）=2x﹣，， 由g′（x）=0，得x=或x=2． 当时，g′（x）≥0；当x时，g′（x）＜0． 所以在（0，1）上，， 而“∃x1∈（0，1），∀x2∈[1，2]，总有g（x1）≥h（x2）成立”等价于 “g（x）在（0，1）上的最大值不小于h（x）在[1，2]上的最大值” 而h（x）在[1，2]上的最大值为max{h（1），h（2）}， 所以有， ∴， ∴， 解得m≥8﹣5ln2， 所以实数m的取值范围是[8﹣5ln2，+∞）． 点评： 本题考查在闭区间上求函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．

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