题目

已知函数． （1）试判断f（x）在定义域内的单调性； （2）若f（x）在区间[1，e2]上的最小值为2，求实数a的值． 答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）通过讨论a的范围，确定函数的单调性，从而求出函数的最小值即可． 【解答】解：由已知得f（x）得的定义域是（0，+∞）， f′（x）=， （1）∵a＞0，∴﹣a＜0， 当x∈（0，a）时，f（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f（x）＞0， ∴f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增； （2）由（1）得： ①0＜a≤1时，f（x）在在[1，e2]递增， ∴f（x）min=f（1）==2，得a=2（舍）， ②当1＜a＜e2时，f（x）在（1，a）递减，在（a，e2）递增， ∴f（x）min=f（a）=lna+=2，解得：a=， ③当a≥e2时，f（x）在[1，e2]递减， ∴f（x）min=f（e2）=2+=2，无解， 综上：a=． 　

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