题目

（本小题满分16分） 如图，已知椭圆的左、右焦点分别为,其右准线与轴的交点为，过椭圆的上顶点作椭圆的右准线的垂线，垂足为，四边形为平行四边形。 （1）求椭圆的离心率； （2）设线段与椭圆交于点，是否存在实数，使?若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由； （3）若是直线上一动点，且外接圆面积的最小值是，求椭圆方程。 答案：解：（Ⅰ）依题意：，即， 所以离心率.                  …………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：，， 故，，，， 所以椭圆方程是，即， 直线的方程是 由解得：（舍去）或 即，                    …………………………………………7分 ，所以， 即存在使成立。      …………………………………………10分 （Ⅲ）解法一：由题可知圆心在直线上，设圆心的坐标为， 因圆过准线上一点B，则圆与准线有公共点， 设圆心到准线的距离为，则，即， 解得：或，             …………………………………………14分 又 由题可知，，则， 故椭圆的方程为．           …………………………………………16分 （若直接用圆与准线相切时面积最小来做，在答案正确的情况下本小题得3分，否则不得分） 解法二：设，，， 圆外接圆的方程是： ， 则，解得 所以圆心即     ……………………………………12分 则 令 ，     …………………………………14分 由题可知，，则， 故椭圆的方程为．                   …………………………………16分 解法三：设，，， 外接圆的方程是： ， 则 ， 由得 所以，或 所以 所以 所求椭圆方程是．                 …………………………………16分

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