题目

已知点P（2，0）及⊙C：x2+y2-6x+4y+4=0.(1)当直线l过点P且与圆心C的距离为1时，求直线l的方程；(2)设过点P的直线与⊙C交A、B两点，当|AB|=4时，求以线段AB为直径的圆的方程. 答案：解析：(1)依题意，⊙C标准方程为（x-3）2+(y+2)2=9.设所求直线l的方程为y=k(x-2)(斜率存在)，由圆心到直线的距离d==1.解得k=-,∴l的方程为3x+4y-6=0.又当l的斜率不存在时，也满足题意，此时l的方程为x=2,故所求直线l的方程为3x+4y-6=0或x=2.(2)解法一：由平面几何知识，当|AB|=4时，圆心C（3，-2）到直线AB的距离d=,又|PC|=，∴CP⊥AB，P为弦AB的中点.故以线段AB为直径的圆的方程是（x-2）2+y2=4.解法二：若直线AB的斜率不存在，即直线为x=2，此时|AB|=42，不合题意，故可设直线AB方程为y=k(x-2),由圆心C到直线AB的距离d==，解得k=.将y=x-1代入x2+y2-6x+4y+4=0并整理，得5x2-20x+4=0.∴AB中点横坐标x0==2，从而y0=0.故以线段AB为直径的圆的方程是（x-2）2+y2=4.

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