题目

（本小题满分14分）已知（，为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数在内单调递增或单调递减；②如果存在区间，使函数在区间上的值域为，那么称，为闭函数； 请解答以下问题： (1) 求闭函数符合条件②的区间； (2) 判断函数是否为闭函数？并说明理由； (3)若是闭函数，求实数的取值范围； 答案：解：(1) 先证符合条件①：对于任意，且，有   ，，故是上的减函数．由题可得：则，而，，又，，所求区间为 (2) 当 在上单调递减，在上单调递增；（证明略）所以，函数在定义域上不是单调递增或单调递减函数，从而该函数不是闭函数 （3）易知是上的增函数，符合条件①；设函数符合条件②的区间为，则；故是的两个不等根，即方程组为： 有两个不等非负实根； 设为方程的二根，则  ， 解得：的取值范围．

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