题目

如图，AB为⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，E为⊙O的半圆弧上一动点（不与A、B重合），过点E的直线分别交射线AM、BN于D、C两点，且CB＝CE． 1.求证：CD为⊙O的切线2.若tan∠BAC＝，求 的值  答案： 1.证明：连接OE．       …………………………………1分∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB．∵BC＝EC，∴∠CBE＝∠CEB．             ……………………………………………2分∴∠OBC＝∠OEC．∵BC为⊙O的切线，∴∠OEC＝∠OBC＝90°，        ……………………………………………3分∵OE为半径，∴CD为⊙O的切线．……………………………………………4分2.延长BE交AM于点G，连接AE，过点D作DT⊥BC于点T．因为DA、DC、CB为⊙O的切线， ∴DA＝DE，CB＝CE．在Rt△ABC中，因为tan∠BAC＝，令AB＝2x，则BC＝x．∴CE＝BC＝x．                ……………………………………………5分令AD＝DE＝a，则在Rt△DTC中，CT＝CB－AD＝x－a，DC＝CE＋DE＝x＋a，DT＝AB＝2x，∵DT2＝DC2－CT2，∴(2x)2＝(x＋a)2－(x－a)2．   ……………………………………………6分解之得，x＝a．               ……………………………………………7分∵AB为直径，∴∠AEG＝90°．∵AD＝ED，∴AD＝ED＝DG＝a．∴AG＝2a．                    ……………………………………………8分因为AD、BC为⊙O的切线，AB为直径，∴AG∥BC．所以△AHG∽△CHB．∴＝＝．        ……………………………………………9分∴＝1．                 ……………………………………………10分解析:切线的判定定理是圆中常考点，三角形相似是求三角形中线段长度的常用方法。 

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