题目

已知函数f(x)=1(a＞0且a≠1)    在(-∞，+∞)上的奇函数．    (Ⅰ)求a的值；    (Ⅱ)求函数f(x)的值域；    (Ⅲ)当x∈(0，1]时，tf(x)≥2x-2恒成立，t的取值范围． 答案：答案：解：(1)∵f(x)是定义在(-∞，+∞)上的奇函数，即f(-x)=-f(x)，令x=0得f(0)=1-=0，解得a=2．(Ⅱ)记y=f(x)，即y=，∴2x=，由2x＞0知＞0，∴-1＜y＜1即f(x)的值域为(-1，1)． (Ⅲ)原不等式tf(x)≥2x-2即≥2x-2．即：(2x)2-(t+1)·2x+t-2≤0．设2x=u，∵x∈(0，1]，∴u∈(1，2]．∴x∈(0，1]时tf(x)≥2x-2恒成立，即为u∈(1，2]时u2-(t+1)·u+t-20恒成立.解得t≥0．另解：(Ⅱ)∵f(x)=，而2x＞0，∴2x+1＞1，∴0＜＜2，∴-1＜1-＜1，即-1＜f(x)＜1．∴f(x)的值域为(-1，1)．(Ⅲ)∵x∈(0，1]，∴2x-1＞0，∴原式变为t≥·(2x-2)==(2x-1)-+1．令μ=2x-1，则μ∈(0，1]，原式变为t≥μ-+1.而g(μ)=μ-+1在μ∈(0，1]时是增函数，∴当μ=1时，g(μ)max=0．∴t≥0．

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