题目

如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分c1与经过点A、D、B的抛物线的一部分c2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C2：y=mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点． （1）求A、B两点的坐标； （2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由； （3）当△BDM为直角三角形时，求m的值． 答案：解：（1）y=mx2﹣2mx﹣3m， =m（x﹣3）（x+1）， ∵m≠0， ∴当y=0时，x1=﹣1，x2=3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）； （2）设C1：y=ax2+bx+c，将A，B，C三点坐标代入得： ， 解得：， 故C1：y=x2﹣x﹣； 如图，过点P作PQ∥y轴，交BC于Q， 由B、C的坐标可得直线BC的解析式为y=x﹣， 设p（x， x2﹣x﹣），则Q（x， x﹣），PQ=x﹣﹣（x2﹣x﹣）=﹣x2+x， S△PBC=S△PCQ+S△PBQ=PQ•OB=×3×（﹣x2+x）=﹣+x=﹣（x﹣）2+， 当x=时，Smax=， ∴P（） （3）y=mx2﹣2mx﹣3m=m（x﹣1）2﹣4m， 顶点M坐标（1，﹣4m）， 当x=0时，y=﹣3m， ∴D（0，﹣3m），B（3，0）， ∴DM2=（0﹣1）2+（﹣3m+4m）2=m2+1， MB2=（3﹣1）2+（0+4m）2=16m2+4， BD2=（3﹣0）2+（0+3m）2=9m2+9， 当△BDM为直角三角形时，分两种情况： ①当∠BDM=90°时，有DM2+BD2=MB2， 解得m1=﹣1，m2=1（∵m＜0，∴m=1舍去）； ②当∠BMD=90°时，有DM2+MB2=BD2， 解得m1=﹣，m2=（舍去）， 综上，m=﹣1或﹣时，△BDM为直角三角形． 　

查看本题答案和解析