题目

如图（1），等腰直角三角形ABC的底边AB=4，点D在线段AC上，DE⊥AB 于E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图（2））． （Ⅰ）求证：PB⊥DE； （Ⅱ）若PE⊥BE，直线PD与平面PBC所成的角为30°，求PE长． 答案：（Ⅰ）∵DE⊥AB，∴DE⊥BE，DE⊥PE， ∵BE∩PE=E，∴DE⊥平面PEB， 又∵PB⊂平面PEB，∴BP⊥DE；                     （Ⅱ）∵PE⊥BE，PE⊥DE，DE⊥BE， ∴分别以DE、BE、PE所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图）， 设PE=a，则B（0，4﹣a，0），D（a，0，0），C（2，2﹣a，0）， P（0，0，a），…（7分） 可得，， 设面PBC的法向量， ∴令y=1，可得x=1，z= 因此是面PBC的一个法向量， ∵，PD与平面PBC所成角为30°， ∴，即， 解之得：a=，或a=4（舍），因此可得PE的长为．

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