题目

如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过B点作BH⊥AE，垂足为点H，延长BH交CD于点F，连接AF． （1）求证：AE=BF． （2）若正方形边长是5，BE=2，求AF的长． 答案：【分析】（1）根据ASA证明△ABE≌△BCF，可得结论； （2）根据（1）得：△ABE≌△BCF，则CF=BE=2，最后利用勾股定理可得AF的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°， ∴∠BAE+∠AEB=90°， ∵BH⊥AE， ∴∠BHE=90°， ∴∠AEB+∠EBH=90°， ∴∠BAE=∠EBH， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（ASA）， ∴AE=BF； （2）解：∵AB=BC=5， 由（1）得：△ABE≌△BCF， ∴CF=BE=2， ∴DF=5﹣2=3， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD=5，∠ADF=90°， 由勾股定理得：AF====． 【点评】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，本题证明△ABE≌△BCF是解本题的关键． 　

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