题目

如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=3，CD=5，∠A=，cos∠ADB=． （Ⅰ）求BD的长； （Ⅱ）求证：∠ABC+∠ADC=π 答案：【考点】正弦定理；余弦定理． 【专题】计算题；数形结合；数形结合法；解三角形． 【分析】（Ⅰ）由已知可求sin∠ADB的值，根据正弦定理即可解得BD的值． （Ⅱ）根据已知及余弦定理可求cos∠C=﹣，结合范围∠C∈（0，π）可求∠C，可得∠A+∠C=π，即可得证． 【解答】解：（Ⅰ）在△ABD中，因为cos∠ADB=，∠ADB∈（0，π）， 所以sin∠ADB=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 根据正弦定理，有，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 代入AB=8，∠A=． 解得BD=7．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （Ⅱ）在△BCD中，根据余弦定理cos∠C=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 代入BC=3，CD=5，得cos∠C=﹣，∠C∈（0，π）所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 所以∠A+∠C=π，而在四边形ABCD中∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=2π， 所以∠ABC+∠ADC=π．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分） 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，考查了余弦函数的图象和性质，同角的三角函数关系式的应用，属于中档题．

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