题目

如图，在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点． （Ⅰ）求证：BD∥平面FGH； （Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小． 答案：解：（Ⅰ）证明：根据已知条件，DF∥AC，EF∥BC，DE∥AB； △DEF∽△ABC，又AB=2DE，∴BC=2EF=2BH， ∴四边形EFHB为平行四边形； ∴BE∥HF，HF⊂平面FGH，BE⊄平面FGH； ∴BE∥平面FGH； 同样，因为GH为△ABC中位线，∴GH∥AB； 又DE∥AB； ∴DE∥GH； ∴DE∥平面FGH，DE∩BE=E； ∴平面BDE∥平面FGH，BD⊂平面BDE； ∴BD∥平面FGH； （Ⅱ）连接HE，则HE∥CF； ∵CF⊥平面ABC； ∴HE⊥平面ABC，并且HG⊥HC； ∴HC，HG，HE三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设HC=1，则： H（0，0，0），G（0，1，0），F（1，0，1），B（﹣1，0，0）； 连接BG，根据已知条件BA=BC，G为AC中点； ∴BG⊥AC； 又CF⊥平面ABC，BG⊂平面ABC； ∴BG⊥CF，AC∩CF=C； ∴BG⊥平面ACFD；∴向量为平面ACFD的法向量； 设平面FGH的法向量为，则： ，取z=1，则：； 设平面FGH和平面ACFD所成的锐二面角为θ，则：cosθ=|cos|=； ∴平面FGH与平面ACFD所成的角为60°．

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