题目

设a、b、c是两两互素的正整数，证明：2abc－be－ac－ab是不能表示为xbc＋yac＋zab形式的最大整数(其中x、y、z是非负整数)． 答案：证明：熟知在a、b互素时，对任意整数n有整数x、y，使ax＋by＝n．当n＞ab－a－b时，首先取0≤x＜b(若x＞b则用x－b、y＋a代替x、y)，我们有by＝n－ax＞ab－a－b－ax≥ab－a－b－a(b－1)＝－b所以y＞－1也是非负整数．即n＞ab－a－b时，有非负整数x、y使ax＋by＝n．因为a、b、c两两互素，所以(bc，ac，ab)＝1．令(bc，ac)＝d．则(ab，d)＝1，所以方程abz＋dt＝n                                        (1)有整数解，并且0≤z＜d(若z＞d则用z－d、t＋ab代替z、t)．设 bc＝da1，ac＝db1，那么(a1，b1)＝1．在n＞2abc－bc－ca－ab时，即         t＞a1b1－a1－b1从而方程  a1x＋b1y＝t                                          (2)有非负整数解(x，y)．由(1)与(2)消去t可得bcx＋acy＋abz＝n有非负整数解．另一方面，若有非负整数x、y、z使2abc－bc－ac－ah＝xbc＋yac＋zab则                            bc(x＋1)＋ac(y＋1)＋ab(z＋1)＝2abc于是应有，a整除bc(x＋1)，因(a，bc)＝1．所以，a整除x＋1，从而c≤x＋1．同理有，b≤y＋1，c≤z＋1．因此3abc＝bca＋acb＋abc≤bc(x＋1)＋ac(y＋1)＋ab(z＋1)＝2abc由于a、b、c都是正整数，这是不可能的，故2abc－bc－ca－ab不能表成xbc＋yca＋zab(x、y、z为非负整数)的形式．  

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