题目

如图，是的切线，切点为，是的直径，连接交于．过点作于点，交于，连接，． (1)求证：是的切线； (2)求证：为的内心； (3)若，，求的长． 答案：(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3). 【分析】 (1)连结，根据圆周角定理得到，证明，得到，根据切线的判定定理证明； (2)连结，根据切线的性质定理得到，证明平分，根据三角形的内心的概念证明即可； (3)根据余弦的定义求出，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】 (1)证明：连结， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴，， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴是的切线； (2)证明：连结， ∵为的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即平分， ∵、为的切线， ∴平分， ∴为的内心； (3)解：∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴. 【点睛】 本题考查的是三角形的内切圆和内心、相似三角形的判定和性质、切线的判定，掌握切线的判定定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

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