题目

已知抛物线的对称轴为直线，且与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A(1，0)，C(0，-3). （1）求抛物线的解析式； （2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A）， ①如图1，当△PBC的面积与△ABC的面积相等时，求点P的坐标； ②如图2，当∠PCB =∠BCA时，求直线CP的解析式． 图1                          图2 答案：解：（1）由题意，得，解得 ∴抛物线的解析式为. （2）①令，解得  ∴B（3， 0） 则直线BC的解析式为  当点P在x轴上方时，如图1， 过点A作直线BC的平行线交抛物线于点P，∴设直线AP的解析式为， ∵直线AP过点A（1，0），∴直线AP的解析式为，交y轴于点. 解方程组，得    ∴点 当点P在x轴下方时，如图1， 根据点，可知需把直线BC向下平移2个单位，此时交抛物线于点， 得直线的解析式为， 解方程组，得 ∴ 综上所述，点P的坐标为： ， ②过点B作AB的垂线，交CP于点F.如图2，∵ ∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45°  ∴∠CBF=∠ABC=45° 又∵∠PCB=∠BCA，BC=BC      ∴△ACB≌△FCB ∴BF=BA=2，则点F（3，－2）又∵CP过点F，点C  ∴直线CP的解析式为.

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