题目

已知函数y=f(x)对任意x,y∈R均有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x＞0时，f(x)＜0,f(1)=- . (1)判断并证明f(x)在R上的单调性； （2）求f(x)在［-3，3］上的最值. 答案：（1）证明见解析（2）f(x)在［-3，3］上最大值为2，最小值为-2 解析:（1）f(x)在R上是单调递减函数 证明如下： 令x=y=0,f(0)=0,令x=-y可得：f(-x)=-f(x),在R上任取x1＜x2,则x2-x1＞0, ∴f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1).又∵x＞0时，f(x)＜0, ∴f(x2-x1)＜0,即f(x2)＜f(x1).由定义可知f(x)在R上为单调递减函数. （2）∵f(x)在R上是减函数， ∴f（x）在［-3，3］上也是减函数. ∴f（-3）最大，f(3)最小.f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3×（-=-2. ∴f(-3)=-f(3)=2.即f(x)在［-3，3］上最大值为2，最小值为-2.

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