题目

如图，已知∠MON=90°，A是∠MON内部的一点，过点A作AB⊥ON，垂足为点B，AB=3厘米，OB=4厘米，动点E，F同时从O点出发，点E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动，点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动，EF与OA交于点C，连接AE，当点E到达点B时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）． （1）当t=1秒时，△EOF与△ABO是否相似？请说明理由； （2）在运动过程中，不论t取何值时，总有EF⊥OA．为什么？ （3）连接AF，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得S△AEF=S四边形AEOF？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 答案：              解：（1）∵t=1， ∴OE=1.5厘米，OF=2厘米， ∵AB=3厘米，OB=4厘米， ∴==，== ∵∠MON=∠ABE=90°， ∴△EOF∽△ABO． （2）在运动过程中，OE=1.5t，OF=2t． ∵AB=3，OB=4． ∴． 又∵∠EOF=∠ABO=90°， ∴Rt△EOF∽Rt△ABO． ∴∠AOB=∠EFO． ∵∠AOB+∠FOC=90°， ∴∠EFO+∠FOC=90°， ∴EF⊥OA． （3）如图，连接AF， ∵OE=1.5t，OF=2t， ∴BE=4﹣1.5t ∴S△FOE=OE•OF=×1.5t×2t=t2， S△ABE=×（4﹣1.5t）×3=6﹣t， S梯形ABOF=（2t+3）×4=4t+6， ∴S△AEF=S梯形ABOF﹣S△FOE﹣S△ABE=4t+6﹣t2﹣（6﹣t）=﹣t2+t， S四边形AEOF=S梯形ABOF﹣S△ABE=4t+6﹣（6﹣t）=t， ∵S△AEF=S四边形AEOF ∴﹣t2+t=×t，（0＜t＜） 解得t=或t=0（舍去）． ∴当t=时，S△AEF=S四边形AEOF．

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