题目

如图10，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，且OA＝1，OB＝3，顶点为D，对称轴交x轴于点Q．（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；（2）点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△DCM∽△BQC？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．答案：解：（1）∵OA＝1，OB＝3， ∴A（－1,0），B（3,0）．……………………………………1分代入y＝－x2＋bx＋c，得．………………………2分解得　b＝2，c＝3． ∴抛物线对应二次函数的表达式为：y＝－x2＋2x＋3；……3分（2）如图，设直线CD切⊙P于点E．连结PE、PA，作CF⊥DQ于点F． ∴PE⊥CD，PE＝PA．　……………………………4分由y＝－x2＋2x＋3，得对称轴为直线x＝1，C（0，3）、D（1，4）．……5分 ∴DF＝4－3＝1，CF＝1， ∴DF＝CF， ∴△DCF为等腰直角三角形． ∴∠CDF＝45°， ∴∠EDP＝∠EPD＝45°， ∴DE＝EP， ∴△DEP为等腰三角形．　设P（1，m）， ∴EP2＝（4－m）2．　………………………6分在△APQ中，∠PQA＝90°， ∴AP2＝AQ2＋PQ2＝[1－（－1）]2＋m2．……7分 ∴　　　（4－m）2＝[1－（－1）]2＋m2．解得，　　　　　　m＝． ∴点P的坐标为（1，）或（1，）．………8分（3）存在点M，使得△DCM∽△BQC．……………9分如图，连结CQ、CB、CM， ∵C（0，3），OB＝3，∠COB＝90°， ∴△COB为等腰直角三角形， ∴∠CBQ＝45°，BC＝3．由（2）可知，∠CDM＝45°，CD＝， ∴∠CBQ＝∠CDM．……………………………10分 ∴△DCM∽△BQC分两种情况．当时， ∴，解得　DM＝． ∴QM＝DQ－DM＝4－＝． ∴M1（1，）．…………………………………11分当时， ∴，解得　DM＝3． ∴QM＝DQ－DM＝4－3＝1． ∴M2（1，1）．综上，点M的坐标为（1，）或（1，1）．

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