题目

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，S5=30，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn=2n﹣1． （Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式； （Ⅱ）设cn=（﹣1）n（anbn+lnSn），求数列{cn}的前n项和． 答案：【考点】数列的求和． 【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列． 【分析】（Ⅰ）通过记等差数列{an}的公差为d，利用等差数列的求和公式及a1=2可知公差d=2，进而可知an=2n；通过Tn=2n﹣1与Tn﹣1=2n﹣1﹣1（n≥2）作差，进而可知bn=2n﹣1； （Ⅱ）通过（I）可知anbn=n•2n，Sn=n（n+1），进而可知cn=n（﹣2）n+（﹣1）n[lnn+ln（n+1）]，利用错位相减法计算可知数列{（﹣1）nanbn}的前n项和An=﹣﹣•（﹣2）n+1；通过分类讨论，结合并项相加法可知数列{（﹣1）nlnSn}的前n项和Bn=（﹣1）nln（n+1），进而可得结论． 【解答】解：（Ⅰ）记等差数列{an}的公差为d， 依题意，S5=5a1+d=30， 又∵a1=2， ∴d==2， ∴数列{an}的通项公式an=2n； ∵Tn=2n﹣1， ∴Tn﹣1=2n﹣1﹣1（n≥2）， 两式相减得：bn=2n﹣1， 又∵b1=T1=21﹣1=1满足上式， ∴数列{bn}的通项公式bn=2n﹣1； （Ⅱ）由（I）可知anbn=n•2n，Sn=2•=n（n+1）， ∴cn=（﹣1）n（anbn+lnSn）=n（﹣2）n+（﹣1）n[lnn+ln（n+1）]， 记数列{（﹣1）nanbn}的前n项和为An，数列{（﹣1）nlnSn}的前n项和为Bn， 则An=1•（﹣2）1+2•（﹣2）2+3•（﹣2）3+…+n•（﹣2）n， ﹣2An=1•（﹣2）2+2•（﹣2）3+…+（n﹣1）•（﹣2）n+n•（﹣2）n+1， 错位相减得：3An=（﹣2）1+（﹣2）2+（﹣2）3+…+（﹣2）n﹣n•（﹣2）n+1 =﹣n•（﹣2）n+1 =﹣﹣•（﹣2）n+1， ∴An=﹣﹣•（﹣2）n+1； 当n为偶数时，Bn=﹣（ln1+ln2）+（ln2+ln3）﹣（ln3+ln4）+…+[lnn+ln（n+1）] =ln（n+1）﹣ln1 =ln（n+1）， 当n为奇数时，Bn=﹣（ln1+ln2）+（ln2+ln3）﹣（ln3+ln4）+…﹣[lnn+ln（n+1）] =﹣ln（n+1）﹣ln1 =﹣ln（n+1）； 综上可知：Bn=（﹣1）nln（n+1）， ∴数列{cn}的前n项和An+Bn=（﹣1）nln（n+1）﹣﹣•（﹣2）n+1． 【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．

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