题目

（本小题满分14分） 若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列，则称这个数列为调和数列．已知数列是调和数列，对于各项都是正数的数列，满足． （Ⅰ）证明数列是等比数列； （Ⅱ）把数列中所有项按如图所示的规律排成一个三角形 数表，当时，求第行各数的和； （Ⅲ）对于（Ⅱ）中的数列，证明：． 答案：解：（Ⅰ）证明：因为，且数列中各项都是正数， 所以 ． 设，   ① 因为数列是调和数列，故，． 所以，．   ② 由①得，代入②式得， 所以，即. 故，所以数列是等比数列．       …………………………5分 （Ⅱ）设的公比为，则，即．由于，故． 于是． 注意到第行共有个数， 所以三角形数表中第1行至第行共含有个数. 因此第行第1个数是数列中的第项. 故第行第1个数是， 所以第行各数的和为．  ………… 9分 （Ⅲ）因为，所以. 所以． 又 ， ， 所以 . 所以 ．   ………………………14分

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