题目

已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1﹣x．（a∈R，e为自然对数的底数） （Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间； （Ⅱ）若函数f（x）在上无零点，求a的最小值； （Ⅲ）若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，求a的取值范围． 答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】（Ⅰ）把a=1代入到f（x）中求出f′（x），令f′（x）＞0求出x的范围即为函数的增区间，令f′（x）＜0求出x的范围即为函数的减区间； （Ⅱ）f（x）＜0时不可能恒成立，所以要使函数在（0，）上无零点，只需要对x∈（0，）时f（x）＞0恒成立，列出不等式解出a大于一个函数，利用导数得到函数的单调性，根据函数的增减性得到这个函数的最大值即可得到a的最小值； （Ⅲ）求出g′（x），根据导函数的正负得到函数的单调区间，即可求出g（x）的值域，而当a=2时不合题意；当a≠2时，求出f′（x）=0时x的值，根据x∈（0，e]列出关于a的不等式得到①，并根据此时的x的值讨论导函数的正负得到函数f（x）的单调区间，根据单调区间得到②和③，令②中不等式的坐标为一个函数，求出此函数的导函数，讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到此函数的最大值，即可解出②恒成立和解出③得到④，联立①和④即可解出满足题意a的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x﹣1﹣2lnx，则f′（x）=1﹣， 由f′（x）＞0，得x＞2； 由f′（x）＜0，得0＜x＜2． 故f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）； （Ⅱ）因为f（x）＜0在区间上恒成立不可能， 故要使函数上无零点， 只要对任意的，f（x）＞0恒成立，即对恒成立． 令，则， 再令， 则，故m（x）在上为减函数，于是， 从而，l（x）＞0，于是l（x）在上为增函数，所以， 故要使恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞）， 综上，若函数f（x）在上无零点，则a的最小值为2﹣4ln2； （Ⅲ）g′（x）=e1﹣x﹣xe1﹣x=（1﹣x）e1﹣x， 当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增； 当x∈（1，e]时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减． 又因为g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e•e1﹣e＞0， 所以，函数g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]． 当a=2时，不合题意； 当a≠2时，f′（x）=，x∈（0，e] 当x=时，f′（x）=0． 由题意得，f（x）在（0，e]上不单调，故，即① 此时，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下： x （0，） （，e] f′（x） ﹣ 0 + f（x） ↘ 最小值 ↗ 又因为，当x→0时，2﹣a＞0，f（x）→+∞， ， 所以，对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2）， 使得f（xi）=g（x0）成立，当且仅当a满足下列条件： 即 令h（a）=， 则h，令h′（a）=0，得a=0或a=2， 故当a∈（﹣∞，0）时，h′（a）＞0，函数h（a）单调递增； 当时，h′（a）＜0，函数h（a）单调递减． 所以，对任意，有h（a）≤h（0）=0， 即②对任意恒成立． 由③式解得：．④ 综合①④可知，当时，对任意给定的x0∈（0，e]， 在（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2）， 使f（xi）=g（x0）成立． 【点评】此题考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调性，会根据函数的增减性求出闭区间上函数的最值，掌握不等式恒成立时所满足的条件，是一道压轴题．

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