题目

（本小题满分14分）如图，斜三棱柱的底面是直角三角形，，点在底面上的射影恰好是的中点，且． （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）求证：； （Ⅲ）求二面角的大小. 答案：（Ⅰ）证明：设的中点为. 在斜三棱柱中，点在底面上的射影恰好是的中点,      平面ABC.         ……………………1分 平面， .               ……………………2分 ， ∴. ， ∴平面.       ……………………4分 平面， 平面平面.   ……………………5分 解法一：（Ⅱ）连接，平面， 是直线在平面上的射影.     ……………………………5分 ，四边形是菱形..   …………………7分 .        ………………………………………9分 （Ⅲ）过点作交于点，连接. ，平面. . 是二面角的平面角.               ………………………………………11分 设，则， .... 平面，平面，.. 在中，可求. ∵，∴.∴. .   ………………………………………13分 .∴二面角的大小为.   ……………14分 解法二：（Ⅱ）因为点在底面上的射影是的中点，设的中点为，则平面ABC.以为原点，过平行于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，由题意可知，. 设，由，得 ………………………………………7分 .  又.. .                                         …………………………………9分 （Ⅲ）设平面的法向量为. 则∴. 设平面的法向量为.则 ∴.       ………………………………………12分 .             ……………………………13分 二面角的大小为.      …………………………………14分

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