题目

如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，4），抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A和C． （1）求抛物线的解析式． （2）该抛物线的对称轴将平行四边形ABCO分成两部分，对称轴左侧部分的图形面积记为S1，右侧部分图形的面积记为S2，求S1与S2的比． （3）在y轴上取一点D，坐标是（0，），将直线OC沿x轴平移到O′C′，点D关于直线O′C′的对称点记为D′，当点D′正好在抛物线上时，求出此时点D′坐标并直接写出直线O′C′的函数解析式． 答案：解：（1）如图1， ∵四边形ABCO是平行四边形， ∴BC=OA，BC∥OA． ∵A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，4）， ∴点C的坐标为（2，4）． ∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A和C． ∴． 解得：． ∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+6． （2）如图1， ∵抛物线的解析式为y=﹣x2+x+6． ∴对称轴x=﹣=， 设OC所在直线的解析式为y=ax， ∵点C的坐标为（2，4）， ∴2a=4，即a=2． ∴OC所在直线的解析式为y=2x． 当x=时，y=1，则点F为（，1）． ∴S2=EC•EF =×（2﹣）×（4﹣1）=． ∴S1=S四边形ABCO﹣S2=2×4﹣=． ∴S1：S2=： =23：9． ∴S1与S2的比为23：9． （3）过点D作DM⊥CO，交x轴于点M，如图2， ∵点C的坐标为（2，4）， ∴tan∠BOC=． ∵∠OMD=90°﹣∠MOC=∠BOC， ∴tan∠OMD==． ∵点D的坐标是（0，）， ∴=，即OM=7． ∴点M的坐标为（7，0）． 设直线DM的解析式为y=kx+b， 则有， 解得： ∴直线DM的解析式为y=﹣x+． ∵点D与点D′关于直线O′C′对称， ∴DD′⊥O′C′，且DD′的中点在直线O′C′上． ∵OC∥O′C′，∴DD′⊥OC． ∴点D′是直线DM与抛物线的交点． 联立 解得：，， ∴点D′的坐标为（﹣1，4）或（，）． 设直线O′C′的解析式为y=2x+c， ①当点D′的坐标为（﹣1，4）时，如图3， 线段DD′的中点为（，）即（﹣，）， 则有2×（﹣）+c=， 解得：c=． 此时直线O′C′的解析式为y=2x+． ②当点D′的坐标为（，）时，如图4， 同理可得：此时直线O′C′的解析式为y=2x+． 综上所述：当点D′的坐标为（﹣1，4）时，直线O′C′的解析式为y=2x+；当点D′的坐标为（，）时，直线O′C′的解析式为y=2x+．

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