题目

如图，在四棱锥E—ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB=BC=CE=2CD=2，∠BCE=120°．(Ⅰ)求证：平面ADE上平面ABE；(Ⅱ)求点C到平面ADE的距离． 答案：解法一：取BE的中点O，连OC．∵BC=CE，∴OC⊥BE．又AB⊥平面BCE．以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz如图，则由已知条件有：C(1，0，0)，B(0，，0)，E(0，，0)，D(1，0，1)，A(0，，2)设平面ADE的法向量为n=(a，b，c)，则由n·=(a，b，c)·(0，2，2)=2b+2c=0．及n·=(a，b，c)·(-1，，1)=-a+b+c=0．可取n=(0，1，)又AB上平面BCE．∴AB⊥OC．OC⊥平面ABE∴平面ABE的法向量可取为m=(1，0，0)．∵n·m=(0，1，)·(1，0，0)=0，∴n⊥m  ∴平面ADE⊥平面ABE．(Ⅱ)点C到平面ADE的距离为解法二：取BE的中点O，AE的中点9，连OC、OF、DF，则OFBA∵AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB=2CD∴CDBA，OFCD   ∴OC∥FD∵BC=CE，∴OC⊥BE．又AB⊥平面BCE．∴OC⊥平面ABE．∴FD⊥平面ABE．从而平面ADE上平面ABE．(Ⅱ)∵CDBA，延长AD，BC交于T  则C为BT的中点．点C到平面ADE的距离等于点B到平面ADE的距离的·过B作BH⊥AE，垂足为H．∵平面ADE⊥平面ABE．∴BH⊥平面BDE．由已知有AB⊥BE．BE=2，AB=2，∴BH=，从而点C到平面ADE的距离为或OC∥FD，点C到平面ADE的距离等于点O到平面ADE的距离为．或取AB的中点M．易证CM∥DA，点C到平面ADE的距离等于点M到平面ADE的距离为．

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