题目

已知函数f(x)＝x＋x3，x∈R. (1)判断函数f(x)的单调性，并证明你的结论； (2)若a，b∈R，且a＋b>0，试比较f(a)＋f(b)与0的大小． 答案：[解析]　(1)函数f(x)＝x＋x3，x∈R是增函数， 证明如下： 任取x1，x2∈R，且x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝(x1＋x)－(x2＋x)＝(x1－x2)＋(x－x)＝(x1－x2)(x＋x1x2＋x＋1) ＝(x1－x2)[(x1＋x2)2＋x＋1]． 因为x1<x2，所以x1－x2<0，(x1＋x2)2＋x＋1>0. 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以函数f(x)＝x＋x3，x∈R是增函数． (2)由a＋b>0，得a>－b，由(1)知f(a)>f(－b)， 因为f(x)的定义域为R，定义域关于坐标原点对称， 又f(－x)＝(－x)＋(－x)3＝－x－x3 ＝－(x＋x3)＝－f(x)， 所以函数f(x)为奇函数． 于是有f(－b)＝－f(b)，所以f(a)>－f(b)，从而f(a)＋f(b)>0.

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