题目

如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为正方形,△PAB为等边三角形,O为AB中点,且PO⊥AC.(1)求证:平面PAB⊥平面ABCD;(2)求PC与平面ABCD所成角的大小;(3)求二面角P-AC-B的大小. 答案：解法一:(1)证明:∵△PAB为等边三角形,O为AB中点,∴PO⊥AB.又PO⊥AC,且AB∩AC=A,∴PO⊥平面ABCD.又PO平面PAB,∴平面PAB⊥平面ABCD. (2)∵PO⊥平面ABCD,连结OC,则OC是PC在平面ABCD上的射影.∴∠PCO为直线PC与平面ABCD所成的角.设底面正方形边长为2,则PO=,CO=,∴tan∠PCO==.∴PC与平面ABCD所成角的大小为arctan. (3)过O作OE⊥AC,垂足为E,连结PE.∵PO⊥平面ABCD,由三垂线定理,可知PE⊥AC.∴∠PEO为二面角P-AC-B的平面角.设底面正方形边长为2,可求得OE=.又PO=3,∴tan∠PEO==.∴二面角PACB的大小为arctan. 解法二:(1)证明:同解法一. (2)建立如图的空间直角坐标系O—xyz,设底面正方形边长为2,则P(0,0,),C(1,2,0).∴=(1,2,-).又是平面ABCD的一个法向量,且=(0,0,3).设PC与平面ABCD所成的角为φ,则sinφ=|cos〈,〉|=.∴PC与平面ABCD所成角的大小为arcsin. (3)设n=(x,y,z)为平面PAC的一个法向量,则n⊥,n⊥.由A(-1,0,0),P(0,0,),C(1,2,0),可得=(-1,0,-),=(1,2,-),∴令z=1,则x=-,y=,得n=(-,3,1).又是平面ABC的一个法向量,设二面角PACB的大小为θ,则cosθ=cos〈n,〉=.∴二面角PACB的大小为arccos.

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