题目

问题背景：如图，将绕点逆时针旋转60°得到，与交于点，可推出结论： 问题解决：如图，在中，，，．点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是___________ 答案： 【分析】 如图，将△MOG绕点M逆时针旋转60°，得到△MPQ，易知△MOP为等边三角形，继而得到点O到三顶点的距离为：ON＋OM＋OG＝ON＋OP＋PQ，由此可以发现当点N、O、P、Q在同一条直线上时，有ON＋OM＋OG最小，此时，∠NMQ＝75°+60°＝135°，过Q作QA⊥NM交NM的延长线于A，利用勾股定理进行求解即可得. 【详解】 如图，将△MOG绕点M逆时针旋转60°，得到△MPQ， 显然△MOP为等边三角形， ∴，OM＋OG＝OP＋PQ， ∴点O到三顶点的距离为：ON＋OM＋OG＝ON＋OP＋PQ， ∴当点N、O、P、Q在同一条直线上时，有ON＋OM＋OG最小， 此时，∠NMQ＝75°+60°＝135°， 过Q作QA⊥NM交NM的延长线于A，则∠MAQ=90°， ∴∠AMQ＝180°-∠NMQ=45°， ∵MQ＝MG＝4， ∴AQ＝AM＝MQ•cos45°=4， ∴NQ＝， 故答案为. 【点睛】 本题考查了旋转的性质，最短路径问题，勾股定理，解直角三角形等知识，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线是解题的关键.

查看本题答案和解析