题目

正态总体μ=0，σ=1时的概率密度函数是f（x）=，x∈R.（1）证明：f（x）是偶函数；（2）利用指数函数的性质说明f（x）的增减性；（3）求f（x）的最大值. 答案：（1）证明：设任意x∈R，f（－x）===f（x），∴f（x）是偶函数.（2）解：令t=－，则f（x）=et.∵f（x）关于t是增函数，t=－，当x∈（0，+∞）时，t关于x是减函数；当x∈（－∞，0）时，t关于x是增函数.由复合函数单调性，知当x∈（0，+∞）时，f（x）=是减函数，当x∈（－∞，0）时，f（x）=是增函数.（3）解：x∈R，x2∈［0，+∞），∴－∈（－∞，0］.又∵y=et为增函数，∴≤e0=1.∴f（x）max=f（0）=.点评：对于正态曲线的简单性质要熟练掌握并且能够应用，尤其是对称性、最高点的位置、曲线向横轴左右无限延伸时逐渐降低等.

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