题目

已知函数令. （Ⅰ）当时，求函数的单调递增区间； （Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值； （Ⅲ）若，正实数满足，证明：． 答案：（Ⅰ）      由得又所以．所以的单增区间为.                                                          （Ⅱ）方法一：令 所以． 当时，因为，所以，所以在上是递增函数， 又因为所以关于的不等式不能恒成立．                          当时，． 令得，所以当时，；当时，． 因此函数在是增函数，在是减函数． 故函数的最大值为               …………8分 令因为 又因为在上是减函数，所以当时，． 所以整数的最小值为．                                  ……………10分 方法二：（2）由恒成立，得在上恒成立． 问题等价于在上恒成立． 令，只要．                  ……………………6分 因为令得． 设，因为，所以在上单调递减， 不妨设的根为．当时，当时，． 所以在上是增函数；在上是减函数． 所以．        因为 所以此时所以即整数的最小值为2  （Ⅲ）当时， 由即 从而               令则由得， 可知在区间（0，1）上单调递减，在区间上单调递增。所以 所以即成立．     

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