题目

（1）读读做做： 平行线是平面几何中最基本、也是非常重要的图形．在解决某些平面几何问题时，若能依据问题的需要，添加恰当的平行线，往往能使证明顺畅、简洁． 请根据上述思想解决教材中的问题： 如图①，AB∥CD，则∠B+∠D　   　∠E（用“＞”、“＝”或“＜”填空）； （2）倒过来想： 写出（1）中命题的逆命题，判断逆命题的真假并说明理由． （3）灵活应用 如图②，已知AB∥CD，在∠ACD的平分线上取两个点M、N，使得∠AMN＝∠ANM，求证：∠CAM＝∠BAN． 答案：（1）解：过E作EF∥AB，如图①所示： 则EF∥AB∥CD， ∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF， ∴∠B+∠D＝∠BEF+∠DEF， 即∠B+∠D＝∠BED； 故答案为：＝； （2）解：逆命题为：若∠B+∠D＝∠BED，则AB∥CD； 该逆命题为真命题；理由如下： 过E作EF∥AB，如图①所示： 则∠B＝∠BEF， ∵∠B+∠D＝∠BED，∠BEF+∠DEF＝∠BED， ∴∠D＝∠BED﹣∠B，∠DEF＝∠BED﹣∠BEF， ∴∠D＝∠DEF， ∴EF∥CD， ∵EF∥AB， ∴AB∥CD； （3）证明：过点N作NG∥AB，交AM于点G，如图②所示： 则NG∥AB∥CD， ∴∠BAN＝∠ANG，∠GNC＝∠NCD， ∵∠AMN是△ACM的一个外角， ∴∠AMN＝∠ACM+∠CAM， 又∵∠AMN＝∠ANM，∠ANM＝∠ANG+∠GNC， ∴∠ACM+∠CAM＝∠ANG+∠GNC， ∴∠ACM+∠CAM＝∠BAN+∠NCD， ∵CN平分∠ACD， ∴∠ACM＝∠NCD， ∴∠CAM＝∠BAN．

查看本题答案和解析