题目

如图,在直径为1的圆O中,作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形,其中y＞x＞0.(1)将十字形的面积表示为θ的函数;(2)θ为何值时,十字形的面积最大?最大面积是多少?图3-1 答案：解:(1)设S为十字形的面积,则S=2xy-x2=2sinθcosθ-cos2θ(＜θ＜).(2)解法一:S=2sinθcosθ-cos2θ=sin2θ-cos2θ-=sin(2θ-φ)-,其中φ=arccos,当sin(2θ-φ)=1,即2θ-φ=时,S最大.所以,当θ=+arccos时,S最大.S的最大值为.解法二:因为S=2sinθcosθ-cos2θ,所以S′=2cos2θ-2sin2θ+2sinθcosθ=2cos2θ+sin2θ.令S′=0,即2cos2θ+sin2θ=0,可解得θ=+arctan(-2).所以,当θ=+arctan(-2)时,S最大,S的最大值为.

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