题目
如图,以A1、A2为焦 点的双曲线E与半径为c的圆O相交于C、D、C1、D1,连接CC1与OB交于点H,且有是圆O与坐标轴的交点,c为双曲线的半焦距. (1)当c=1时,求双曲线E的方程; (2)试证:对任意正实数c,双曲线E的离心率为常数; (3)连接A1C,与双曲线E交于点F,是否存在实数,使恒成立?若存在,试求出的值;若不存在,请说明理由.
答案: (1)解:由c=1知B(0,1), 即,点C在单位圆上, 设双曲线E的方程为 由点C在双曲线E上,半焦距c=1有: 所以双曲线E的方程为: (2)证明: 得: 设双曲线E的方程为 ① ② ①代入②,化简整理得 解得 又 ,即双曲线E的离心率是与c无关的常数. (3) 假设存在实数,使恒成立, 有 点点C、F都在双曲线E上,故有 ④ ③ 由③得 ⑤ ⑤代入④得化简整理得 即(2)小题的结论得: 故存在实数,使恒成立.