题目

如图，以A1、A2为焦 点的双曲线E与半径为c的圆O相交于C、D、C1、D1，连接CC1与OB交于点H，且有是圆O与坐标轴的交点，c为双曲线的半焦距. （1）当c=1时，求双曲线E的方程； （2）试证：对任意正实数c，双曲线E的离心率为常数； （3）连接A1C，与双曲线E交于点F，是否存在实数，使恒成立？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由. 答案： （1）解：由c=1知B（0，1），    即，点C在单位圆上， 设双曲线E的方程为 由点C在双曲线E上，半焦距c=1有： 所以双曲线E的方程为： （2）证明： 得： 设双曲线E的方程为 ① ②       ①代入②，化简整理得 解得 又 ，即双曲线E的离心率是与c无关的常数. （3） 假设存在实数，使恒成立， 有 点点C、F都在双曲线E上，故有 ④   ③   由③得  ⑤ ⑤代入④得化简整理得 即（2）小题的结论得： 故存在实数，使恒成立.

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