题目

一个四棱锥的三视图和直观图如图所示，E为侧棱PD的中点. （1）求证：PB//平面AEC；   （2）若F为侧棱PA上的一点，且， 则为何值时，PA平面BDF？ 并求此时几何体F—BDC的体积． 答案：(2) 解析:（1）由图形可知该四棱锥和底面ABCD是菱形，且有一角为，边长为2， 锥体高度为1。 设AC，BD和交点为O，连OE，OE为△DPB的中位线， OE//PB，                                             3分 EO面EAC，PB面EAC内， PB//面AEC。          6分 （2）过O作OFPA垂足为F ,  在Rt△POA中，PO=1，AO=，PA=2，在Rt△POB中，PO=1，BO=1，PB=，   8分 过B作PA的垂线BF，垂足为F，连DF，由于△PAB≌△PAD，故DF⊥PA，DF∩BF=F，因此PA⊥面BDF.                                                  10分 在等腰三角形PAB中解得AF=,进而得PF=                即当时，PA面BDF，                       12分 此时F到平面BDC的距离FH=          14分

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