题目

学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动． 在相距150个单位长度的直线跑道AB上，机器人甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，机器人乙同时从端点B出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计． 兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的”迎面相遇“包括面对面相遇、在端点处相遇这两种． 【观察】 ①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为　   　个单位长度； ②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为40个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为　   　个单位长度； 【发现】 设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图象（线段OP，不包括点O，如图2所示）． ①a＝　   　； ②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图2中补全函数图象； 【拓展】 设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度． 若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是　   　．（直接写出结果） 答案：解：【观察】①∵相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度， ∴相遇地点与点B之间的距离为150﹣30＝120个单位长度， 设机器人甲的速度为v， ∴机器人乙的速度为v＝4v， ∴机器人甲从相遇点到点B所用的时间为， 机器人乙从相遇地点到点A再返回到点B所用时间为＝，而， ∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时， 机器人乙从第一次相遇地点到点A，返回到点B，再返回向A时和机器人甲第二次迎面相遇， 设此时相遇点距点A为m个单位， 根据题意得，30+150+150﹣m＝4（m﹣30）， ∴m＝90， 故答案为：90； ②∵相遇地点与点A之间的距离为40个单位长度， ∴相遇地点与点B之间的距离为150﹣40＝110个单位长度， 设机器人甲的速度为v， ∴机器人乙的速度为v＝v， ∴机器人乙从相遇点到点A再到点B所用的时间为＝， 机器人甲从相遇点到点B所用时间为，而， ∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人从第一次相遇点到点A，再到点B，返回时和机器人乙第二次迎面相遇， 设此时相遇点距点A为m个单位， 根据题意得，40+150+150﹣m＝（m﹣40）， ∴m＝120， 故答案为：120； 【发现】①当点第二次相遇地点刚好在点B时， 设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为v， 根据题意知，x+150＝（150﹣x）， ∴x＝50， 经检验：x＝50是分式方程的根， 即：a＝50， 故答案为：50； ②当0＜x≤50时，点P（50，150）在线段OP上， ∴线段OP的表达式为y＝3x， 当v＜v时，即当50＜x＜75，此时，第二次相遇地点是机器人甲在到点B返回向点A时， 设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为v， 根据题意知，x+y＝（150﹣x+150﹣y）， ∴y＝﹣3x+300， 即：y＝， 补全图形如图2所示， 【拓展】如图，由题意知，x+y+150+150＝（150﹣x+150﹣y）， ∴y＝﹣5x+300， ∵第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度， ∴﹣5x+300≤60， ∴x≥48， ∵x＜75， ∴48≤x＜75， 故答案为48≤x＜75．

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